KONOIDOK

A Catalan-felületek valódi részhalmazát alkotják a konoidok. A konoidok (görög szó, jelentése egyenesszerű) olyan vonalfelületek, melyek alkotói a következő két tulajdonsággal rendelkeznek:

1. minden alkotójuk párhuzamos egy rögzített síkkal, a vezérsíkkal,

2. minden alkotójuk metsz egy rögzített egyenest, amit a konoid tengelyének nevezünk.

A konoidot egyenesnek nevezzük, ha a tengelyére merőleges a vezérsíkra, következésképpen az egyenes konoid alkotói merőlegesek a tengelyére.

Bármely konoid felírható \[\mathbf{x}\left( u,v\right) =\mathbf{d}\left( u\right) +v\mathbf{r}\left( u\right)\] alakban, ahol \(\mathbf{d}\) a felület vezérgörbéje (direktrixe) és az \(\mathbf{r}\) vektorok párhuzamosak a vezérsíkkal. Az \(u\) paraméter rögzítésével a felület alkotóit kapjuk.

A továbbiakban néhány egyenes konoid paraméteres alakját adjuk meg, melyeket \[\mathbf{x}\left( u,v\right) =\left( 1-v\right) \mathbf{d}\left( u\right) +v\mathbf{t}\left( u\right) ,~v\in\mathbb{R},~u\in\left[ a,b\right] \subseteq\mathbb{R},~v\in\mathbb{R}%\] alakban állítunk elő, ahol \(\mathbf{d}\) a vezérgörbe és \(\mathbf{t}\) a konoid tengelye. Tehát a konoidot a vezérgörbe és a tengely lineáris interpolációjaként állítjuk elő. Ha az alábbi példákban a \(\mathbf{d}\) vagy \(\mathbf{t}\) görbén megengedett paramétertranszformációt hajtunk végre, akkor is konoidot kapunk, csak általában nem egyenes lesz a konoid, mivel a vezérsík nem lesz merőleges a tengelyre. Ha a felületet affin transzformációnak vetjük alá, akkor a transzformált felület ugyan konoid marad, de általában nem lesz egyenes konoid.

A modelleknél természetesen az alkotóknak csak véges darabját hoztuk létre, vagyis a végtelen egyenesek helyett csak szakaszokat.