Vonalfelületek

Az \(S\) felületet vonalfelületnek nevezzük, ha bármely pontján áthalad olyan egyenes, amely teljes egészében a felületre illeszkedik. Ezeket az egyeneseket a felület alkotóinak nevezzük. A legismertebb vonalfelületek a sík, a kúpok és a hengerek.

A vonalfelületek mozgó egyenes által súrolt felületként is leírhatók, pl. forgáshengert kapunk, ha egy egyenest vele párhuzamos egyenes körül megforgatunk.

Vannak olyan vonalfelületek, melyek bármely pontján két olyan egyenes halad át, melyek illeszkednek a felületre. Három felület rendelkezik ezzel a tulajdonsággal: a sík, a hiperbolikus hiperboloid (egyköpenyű hiperboloid) és a hiperbolikus paraboloid (nyeregfelület). A sík az egyetlen olyan felület, melynek bármely pontján át kettőnél több, a felületre illeszkedő egyenes halad át.

Vonalfelületeket előállíthatunk három görbe transzverzálisaiként is, azaz olyan egyenesekkel, melyek mindhárom görbét metszik. Három, páronként kitérő helyzetű egyenes transzverzálisai egyköpenyű hiperboloidot írnak le, ha az adott egyenesek egyike sem végtelen távoli. Ha a három rögzített egyenes közül egy végtelen távolban van, akkor a transzverzálisok nyeregfelületet határoznak meg. Ezen felületek bármely pontján két alkotó halad át, melyeket két egyenessereghez sorolhatunk. Az ugyanahhoz a sereghez tartozó bármely két alkotó kitérő helyzetű és bármely két, különböző sereghez tartozó alkotó metszi egymást.

A vonalfelületek projektív transzformáltja is vonalfelület (a projektív transzformáció egyenes- és illeszkedéstartó), azonban nem biztos, hogy ugyanolyan típusú lesz a transzformált, mint az eredeti, mivel a végtelen távoli térelemek is transzformálódnak.

A Catalan-felület olyan vonalfelület, melynek alkotói egy rögzített síkkal párhuzamosak (rögzített végtelen távoli egyenest metszenek), amit vezérsíknak (direktrixsíknak) nevezünk.