MÁSODRENDŰ VONALFELÜLETEK
Ha az \(\mathbf{a}\left( u\right)\) és \(\mathbf{b}\left( u\right) ,~u\in\left[ u_{0},u_{1}\right]\) görbék azonos \(u\) értékhez tartozó pontjait egyenessel összekötjük az \[\mathbf{s}\left( u,v\right) =\left( 1-v\right) \mathbf{a}\left( u\right) +v\mathbf{b}\left( u\right) ,~u\in\left[ u_{0},u_{1}\right] ,v\in \mathbb{R}%\] vonalfelületet kapjuk. Ez nem más, mint a két görbe egy lineáris interpolációja. A két görbének végtelen sok ilyen típusú lineáris interpolációja van, ugyanis, ha az \(\mathbf{a}\) vagy \(\mathbf{b}\) görbe valamelyikén paramétertranszformációt hajtunk végre, akkor más interpoláló egyenessereget - és általában más vonalfelületet - kapunk.
A továbbiakban ilyen alakban fogjuk leírni a másodrendű vonalfelületeket. A rövid képletek érdekében speciális helyzetű, egszerű eseteket mutatunk meg, az általános másodrendű vonalfelületeket ezekből projektív transzformációval elő tudjuk állítani.
Ha az \(\mathbf{a}\) görbe a \(z=-1\), a \(\mathbf{b}\) pedig a \(z=1\) síkokon elhelyezkedő \(r\) sugarú kör, melyek középpontja a \(z\) tengelyen van, azaz \[\mathbf{a}\left( u\right) =\left[ \begin{array} [c]{c}% r\cos\left( u\right) \\ r\sin\left( u\right) \\ -1 \end{array} \right] ,~\mathbf{b}\left( u\right) =\left[ \begin{array} [c]{c}% r\cos\left( u\right) \\ r\sin\left( u\right) \\ 1 \end{array} \right] ,~u\in\left[ 0,2\pi\right] \in\mathbb{R},%\] akkor az \[\begin{aligned} \mathbf{s}\left( u,v\right) & =\left( 1-v\right) \mathbf{a}\left( u\right) +v\mathbf{b}\left( u+\delta\right) \\ & =\left( 1-v\right) \left[ \begin{array} [c]{c}% r\cos\left( u\right) \\ r\sin\left( u\right) \\ -1 \end{array} \right] +v\left[ \begin{array} [c]{c}% r\cos\left( u+\delta\right) \\ r\sin\left( u+\delta\right) \\ 1 \end{array} \right] \\ & =\left[ \begin{array} [c]{c}% r\left( \left( 1-v\right) \cos\left( u\right) +v\cos\left( u+\delta\right) \right) \\ r\left( \left( 1-v\right) \sin\left( u\right) +v\sin\left( u+\delta\right) \right) \\ 2v-1 \end{array} \right] ,~u\in\left[ 0,2\pi\right] ,v,\delta\in\mathbb{R}% \end{aligned}\] felület
forgáshenger, ha \(\mathbf{\delta}=2k\pi,~k\in\mathbb{Z}\);
forgáskúp, ha \(\mathbf{\delta}=\left( 2k+1\right) \pi,~k\in\mathbb{Z}\);
egyköpenyű forgáshiperboloid \(\delta\) minden más értékénél.
Az egyköpenyű hiperboloid esetén a fenti formulával az egyik alkotósereget kapjuk meg. A másik alkotósereget a felület \[\mathbf{s}\left( u,v\right) =\left( 1-v\right) \mathbf{a}\left( u\right) +v\mathbf{b}\left( u-\delta\right) ,~u\in\left[ a,b\right] ,v\in\mathbb{R}%\] leírásának \(v\) paramétervonalaiként kapjuk meg.
|
|
|
|
|
